University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md

Раздел 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

Теория

1. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.
2. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.
3. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.
4. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.
5. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.
6. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.
7. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.
8. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.
9. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.
10. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.
11. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.
12. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.
13. 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.

Практика

1. Уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы с помощью замены переменной, интегрирования по частям.
2. Уметь интегрировать дробно-рациональные функции, а также выражения, содержащие тригонометрические функции.
3. Уметь вычислять длину кривой, а также площадь плоской фигуры.
4. Уметь вычислять несобственные интегралы 1-го рода и 2-го рода по определению, а также исследовать интегралы на сходимость.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Теория

1. Понятие функции двух переменных.
2. Определения предела функции двух переменных.
3. Арифметические свойства предела функции двух переменных.
4. Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
5. Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства.
6. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
7. Производная по направлению. Градиент.
8. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
9. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
10. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Практика

1. Уметь вычислять предел функции двух переменных.
2. Уметь вычислять частные производные и дифференциалы (первого и второго порядков) функции двух переменных.
3. Уметь записывать уравнение касательной плоскости к поверхности.
4. Уметь находить производную по направлению и градиент функции двух переменных.
5. Уметь разложить функцию двух переменных по формуле Тейлора в окрестности данной точки (например, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥^2 − 𝑥𝑦 − 𝑦^2 − 6𝑥 − 3𝑦, (𝑥_0, 𝑦_0) = (1, −2)).
6. Уметь исследовать функцию двух переменных на экстремум.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения

Теория

1. Понятие обыкновенного ДУ, порядок ДУ, решение ДУ.
2. Понятие ДУ 1-го порядка, решение ДУ, задача Коши, геометрический смысл ДУ и его решения. Понятия общего и частного решений для ДУ 1-го порядка.
3. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.
4. ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: понятие, метод интегрирования.
5. Однородные ДУ 1-го порядка: понятия и метод интегрирования.
6. Линейные ДУ 1-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод интегрирования линейного неоднородного уравнения (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной).
7. ДУ в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
8. ДУ второго порядка. Задача Коши.
9. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, метод Эйлера, характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения.
10. Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

Практика

1. Уметь решать ДУ 1-го порядка следующих типов: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах.
2. Уметь решать линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.