University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных

Определение

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Частной производной функции f(x, y) по переменной x в точке (x_0, y_0) называется предел:

\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}

Обозначается она следующим образом:

f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)

Аналогично определяется частная производная функции f(x, y) по переменной y в точке (x_0, y_0):

\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}

Обозначается она следующим образом:

f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)

Дифференциалом первого порядка функции f(x, y) в точке (x\_0, y\_0) называется линейная функция \Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y, где \Delta x и \Delta y - приращения переменных x и y соответственно.

\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y

Частные производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично. Например, вторыми частными производными функции f(x, y) называются производные от частных производных первого порядка:

f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
\quad f''_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y)
\quad f''_{yx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y)
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)

Свойства

1. Линейность частных производных:

     kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
   

     f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
   

     f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
   

2. Произведение функций:

     f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
   

     f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
   

     f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
   

     f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
   

3. Частные функций:

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
   

4. Смешанные производные:

     ''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
   

Примеры

1. Найти частные производные второго порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2. Решение:

   Найдем частные производные первого порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Найдем частные производные второго порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     ''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
   

   Ответ: f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x.

2. Найти дифференциал второго порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2). Решение:

   Найдем частные производные первого порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Найдем частные производные второго порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

     ''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
   

   Найдем дифференциал второго порядка функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

     ^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
   

   Ответ: d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2.