52 lines
4.1 KiB
Markdown
52 lines
4.1 KiB
Markdown
Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции
|
||
|
||
# Двойственная функция
|
||
**Двойственная функция** $f^*$ - $f^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n})}$
|
||
$(f^*)^* = f$
|
||
|
||
Примеры:
|
||
- $0^* = 1$
|
||
- $x^* = x$
|
||
- $\bar x^* = \bar x$
|
||
- $(xy)^* = x \vee y$
|
||
- $(x \oplus y)^* = x \equiv y$
|
||
- $(x|y)^* = x \downarrow y$
|
||
- $(x \rightarrow y)^* = y > x$
|
||
|
||
# Принцип двойственности
|
||
## Теорема
|
||
Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) и g(y_1, y_2, \dots, y_m)$ - логические функции и $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
||
Тогда $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
||
## Доказательство
|
||
НУО $k = n$: $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
|
||
|
||
По определению двойственности, $h^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = \overline{h(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m})} = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}))}$
|
||
$g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}$, поэтому $h^* = \overline{f\left(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}\right)} = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m))$
|
||
|
||
## Следствие
|
||
> Пусть функция 𝑓 представлена некоторой формулой/схемой. Чтобы получить формулу/схему, представляющую функцию $𝑓^∗$, нужно заменить в формуле все операции и константы / функциональные элементы на двойственные им.
|
||
|
||
|
||
# Самодвойственные функции
|
||
**Самодвойственная функция** (класс S) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = f^*(x_1, x_2, \dots, x_n)$
|
||
Не существует самодвойственных функций, существенно зависящих от 2х переменных
|
||
|
||
# Замкнутость класса 𝑆
|
||
## Теорема
|
||
Класс S замкнут
|
||
## Доказательство
|
||
Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in S$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in S$
|
||
Рассмотрим $h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
|
||
Из принципа двойственности, $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h$, следовательно, $h \in S$
|
||
|
||
# Лемма о несамодвойственной функции
|
||
## Лемма
|
||
Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций $f$ и $\bar x$. Т.е. если $f \notin S$, то ${0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]$
|
||
## Доказательство
|
||
Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S$. Тогда существует такой набор $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, что $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\}$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]])
|
||
|
||
$h(x) = f(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2}, \dots, x^{\alpha_n})$
|
||
$h(0) = f(0^{\alpha_1}, 0^{\alpha_2}, \dots, 0^{\alpha_n}) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c$
|
||
$h(1) = f(1^{\alpha_1}, 1^{\alpha_2}, \dots, 1^{\alpha_n}) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = c$
|
||
|
||
Следовательно, $h(x) = c$, $\overline{h(x)} = \bar c$ |