2.7 KiB
Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
Гармонический ряд
Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n
^ab323a
Сходимость гармонического ряда
Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. ^e432ca
Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k
Для больших значений n
, частичные суммы S_n
можно аппроксимировать как S_n \approx \ln(n) + \gamma
, где \gamma
— постоянная Эйлера-Маскерони.
Поскольку \ln(n) \to \infty
при n \to \infty
, то и S_n \to \infty
, что означает расходимость гармонического ряда.
Обобщенный гармонический ряд
Обобщенный гармонический ряд имеет вид \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}
, где p
— положительное число. ^e8e233
Сходимость обобщенного гармонического ряда
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения p
:
- Если
p > 1
, то ряд сходится. ^5262f4 - Если
p \leq 1
, то ряд расходится.
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл \int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx
- Для
p > 1
:\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}
- Для
p \leq 1
:\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx
расходится. Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится приp > 1
и расходится приp \leq 1
.
Примеры
- Гармонический ряд:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
расходится - Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
сходится, так какp = 2 > 1
. - Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}
расходится, так какp = \frac{1}{2} \leq 1
.