University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

Введение

Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.

[!Термин] Мажоранта (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точной верхней и нижней границ").

Признак Вейерштрасса

Формулировка

Пусть \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел \sum\limits_{n=1}^\infty M_n, такой что \forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n.

Если ряд \sum\limits_{n=1}^\infty M_n сходится, то ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) равномерно сходится на D.

Доказательство

Рассмотрим 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9 S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x) и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант T_n=\sum\limits_{k=1}^n M_k.

Поскольку ряд \sum\limits_{n=1}^\infty M_n сходится, то последовательность T_n ограничена. Это означает, что существует такое число M, что T_n\leq M для всех n.

Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x)-S_n(x) для m>n: |S_m(x) - S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m f_k(x) \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m M_k = T_m-T_n

Поскольку последовательность T_n ограничена, то и разность T_m-T_n ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на D.

Примеры

1. \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}

   Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.

2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}

   Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=3>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.