1.7 KiB
1.7 KiB
Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Числовые ряды
Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n, где a_n — общий член ряда.
Общий член ряда
Общий член ряда (a_n) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда.
Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как a_n = ar^n, где a — первый член, а r — отношение между последующими членами.
Сумма ряда
Сумма ряда (S) — это предел частичных сумм S_n: S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n, где S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k.
Необходимое условие сходимости ряда
Если \sum\limits_{n=1}^\infty a_n сходится, то \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0
Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд (\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n) расходится, несмотря на то, что его общий член (\frac 1 n) стремится к нулю.
Примеры
- Геометрический ряд:
\sum\limits_{n=0}^\infty ar^nсходится, если|r| < 1 - Гармонический ряд:
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 nрасходится