50 lines
3.7 KiB
Markdown
50 lines
3.7 KiB
Markdown
> Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:
|
||
|
||
> Формула интегрирования по частям
|
||
|
||
Пусть даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемые на некотором интервале $[a, b]$. Тогда выполняется следующая формула интегрирования по частям:
|
||
|
||
$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx + C$,
|
||
|
||
где $C$ - произвольная постоянная.
|
||
|
||
Эта формула может быть доказана с помощью правила произведения для дифференцирования:
|
||
|
||
$(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$.
|
||
|
||
> Принципы интегрирования по частям
|
||
|
||
При вычислении неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям необходимо выбрать одну из функций $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемых на некотором интервале $[a, b]$, таким образом, чтобы интеграл $\int v(x) u'(x) \, dx$ был проще исходного интеграла $\int u(x) v'(x) \, dx$.
|
||
|
||
В качестве критерия выбора функций $u(x)$ и $v(x)$ можно использовать следующее правило:
|
||
|
||
- Если под знаком интеграла есть произведение функций, то следует выбрать в качестве $u(x)$ ту функцию, которая дифференцируется проще, а в качестве $v(x)$ - ту функцию, которая интегрируется проще.
|
||
- Если под знаком интеграла есть функция, которая может быть представлена в виде произведения двух функций, то следует попытаться выделить одну из этих функций в качестве $u(x)$ или $v(x)$ и применить формулу интегрирования по частям.
|
||
|
||
> Примеры интегрирования по частям
|
||
|
||
Рассмотрим несколько примеров интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
|
||
|
||
Пример 1. Вычислить интеграл $\int x \cos x \, dx$.
|
||
|
||
Решение. Заметим, что $\cos x$ дифференцируется проще, чем $x$, поэтому выберем $u(x) = x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = 1$, $v(x) = \sin x$ и
|
||
|
||
$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$.
|
||
|
||
Пример 2. Вычислить интеграл $\int e^x \sin x \, dx$.
|
||
|
||
Решение. Заметим, что $\sin x$ дифференцируется проще, чем $e^x$, поэтому выберем $u(x) = e^x$, $v'(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = -\cos x$ и
|
||
|
||
$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$.
|
||
|
||
Для вычисления интеграла $\int e^x \cos x \, dx$ снова применим интегрирование по частям, выбрав $u(x) = e^x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = \sin x$ и
|
||
|
||
$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$.
|
||
|
||
Получим систему уравнений:
|
||
|
||
$\begin{cases} \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx, \\ \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx. \end{cases}$
|
||
|
||
Решив эту систему, получим:
|
||
|
||
$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$. |