University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда определенный интеграл от производной их произведения можно вычислить по формуле:

\int_a^b (u(x)v'(x) + u'(x)v(x)) \, dx = u(x)v(x)\big|_a^b.

Эту формулу можно переписать в более удобном для применения виде:

\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x)\big|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx.

Здесь u(x) и v(x) - функции, выбранные таким образом, чтобы интеграл от произведения u'(x)v(x) был проще, чем исходный интеграл.

Геометрический смысл

Геометрически интегрирование по частям в определенном интеграле означает, что мы разбиваем область интегрирования на две части и вычисляем интеграл отдельно для каждой части. При этом одна из частей вычисляется непосредственно, а другая - с помощью формулы интегрирования по частям.

Примеры

1. Вычислим интеграл \int_0^1 x e^x \, dx. Заметим, что функция e^x является своей собственной первообразной. Выберем u(x) = x и v'(x) = e^x. Тогда u'(x) = 1 и v(x) = e^x. Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем:

     int_0^1 x e^x \, dx = xe^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - 1.
   

2. Вычислим интеграл \int_1^2 \ln x \, dx. Выберем u(x) = \ln x и v'(x) = 1. Тогда u'(x) = \frac{1}{x} и v(x) = x. Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем:

     int_1^2 \ln x \, dx = x\ln x\big|_1^2 - \int_1^2 1 \, dx = (2\ln 2 - 1\ln 1) - (2 - 1) = 2\ln 2 - 1.
   

Правила интегрирования по частям

• Функции u(x) и v(x) должны быть дифференцируемы на отрезке [a, b];
• Необходимо выбрать функции u(x) и v(x) таким образом, чтобы интеграл от произведения u'(x)v(x) был проще, чем исходный интеграл;
• Пределы интегрирования должны соответствовать образу функции u(x)v(x) на отрезке [a, b].