4.4 KiB
Приложения криволинейных интегралов первого рода
Вычисление длины кривой
Длина кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) для t \in [a, b], можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:
L=\int_{C}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt.
Пример
Рассмотрим пример вычисления длины кривой, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1]. Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=3t^2.
Теперь вычислим элемент длины дуги:
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
Вычисление массы проволоки
Масса проволоки, имеющей переменную линейную плотность \rho(x, y, z), заданную как функция координат (x, y, z), можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:
M=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds.
Пример
Рассмотрим пример вычисления массы проволоки, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1] с линейной плотностью \rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=3t^2.
Теперь вычислим элемент длины дуги:
ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла:
M=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2+(t^3)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
Вычисление центра масс
Координаты центра масс проволоки, имеющей переменную линейную плотность \rho(x, y, z), можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода:
x_c=\frac{\int_{C}x\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},
y_c=\frac{\int_{C}y\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},
z_c=\frac{\int_{C}z\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds}.
Вычисление моментов инерции
Моменты инерции проволоки относительно осей x, y и z можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода:
I_x=\int_{C}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,
I_y=\int_{C}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,
I_z=\int_{C}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,ds.
Пример
Рассмотрим пример вычисления момента инерции проволоки, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1] с линейной плотностью \rho(x, y, z) = 1. Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=3t^2.
Теперь вычислим элемент длины дуги:
ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла для момента инерции относительно оси z:
I_z=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.