83 lines
4.4 KiB
Markdown
83 lines
4.4 KiB
Markdown
|
## Приложения криволинейных интегралов первого рода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление длины кривой
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Длина кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$L=\int_{C}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления длины кривой, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. Сначала вычислим производные:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\frac{dx}{dt}=1,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dy}{dt}=2t,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим элемент длины дуги:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление массы проволоки
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Масса проволоки, имеющей переменную линейную плотность $\rho(x, y, z)$, заданную как функция координат $(x, y, z)$, можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$M=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления массы проволоки, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$ с линейной плотностью $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Сначала вычислим производные:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\frac{dx}{dt}=1,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dy}{dt}=2t,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим элемент длины дуги:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$M=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2+(t^3)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление центра масс
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Координаты центра масс проволоки, имеющей переменную линейную плотность $\rho(x, y, z)$, можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$x_c=\frac{\int_{C}x\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},$$
|
|||
|
|
$$y_c=\frac{\int_{C}y\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},$$
|
|||
|
|
$$z_c=\frac{\int_{C}z\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление моментов инерции
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Моменты инерции проволоки относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$I_x=\int_{C}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,$$
|
|||
|
|
$$I_y=\int_{C}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,$$
|
|||
|
|
$$I_z=\int_{C}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,ds.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления момента инерции проволоки, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$ с линейной плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. Сначала вычислим производные:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\frac{dx}{dt}=1,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dy}{dt}=2t,$$
|
|||
|
|
$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим элемент длины дуги:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла для момента инерции относительно оси $z$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$I_z=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|