35 lines
2.7 KiB
Markdown
35 lines
2.7 KiB
Markdown
# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
|
||
|
||
## Гармонический ряд
|
||
**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a
|
||
|
||
### Сходимость гармонического ряда
|
||
Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. ^e432ca
|
||
|
||
Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$
|
||
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
|
||
Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
|
||
|
||
## Обобщенный гармонический ряд
|
||
**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233
|
||
|
||
### Сходимость обобщенного гармонического ряда
|
||
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
|
||
- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4
|
||
- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
|
||
|
||
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$
|
||
- Для $p > 1$:
|
||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
|
||
- Для $p \leq 1$:
|
||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*.
|
||
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
|
||
|
||
## Примеры
|
||
1. **Гармонический ряд**:
|
||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится*
|
||
2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
|
||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$.
|
||
3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
|
||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
|