45 lines
2.8 KiB
Markdown
45 lines
2.8 KiB
Markdown
# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
|
||
|
||
## Разложение функций в степенные ряды
|
||
Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
|
||
|
||
## Ряды Тейлора и Маклорена
|
||
|
||
### Ряд Тейлора
|
||
Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
|
||
|
||
### Ряд Маклорена
|
||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
|
||
|
||
Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
|
||
|
||
## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
|
||
|
||
### Теорема
|
||
Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: $|f^{(n)}(x)| \leq M$
|
||
|
||
для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
|
||
$R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
|
||
|
||
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
|
||
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
|
||
|
||
Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq M$, то:
|
||
$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}$
|
||
|
||
Поскольку $\frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
|
||
|
||
## Примеры
|
||
1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
|
||
Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
|
||
$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||
|
||
2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
|
||
Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
|
||
$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ |