61 lines
3.4 KiB
Markdown
61 lines
3.4 KiB
Markdown
# Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
|
||
|
||
## Почленное интегрирование степенных рядов
|
||
|
||
### Теорема о почленном интегрировании
|
||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
|
||
$\int\limits_a^b \left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b a_nx^ndx$
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
|
||
$$
|
||
\int_a^b \left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx =
|
||
\int_a^b \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = \lim_{N\to\infty} \int_a^b \sum_{n=0}^N a_nx^ndx =
|
||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b a_nx^ndx =
|
||
\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^ndx
|
||
$$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
|
||
$$
|
||
\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) dx =
|
||
\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n}{n!}dx =
|
||
\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \int_0^1 x^ndx =
|
||
\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!(n+1)} =
|
||
e-1
|
||
$$
|
||
|
||
## Почленное дифференцирование степенных рядов
|
||
|
||
### Теорема о почленном дифференцировании
|
||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
|
||
$\left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
|
||
$$
|
||
\left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' =
|
||
\lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N a_nx^n \right)' =
|
||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left( a_nx^n \right)' =
|
||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N na_nx^{n-1} =
|
||
\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
|
||
$$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
|
||
$$
|
||
\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right)' =
|
||
\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} =
|
||
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} =
|
||
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =
|
||
e^x
|
||
$$
|