34 lines
2.3 KiB
Markdown
34 lines
2.3 KiB
Markdown
# Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
|
||
|
||
## Введение
|
||
**Степенной ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$.
|
||
|
||
## Формула Коши-Адамара
|
||
Формула Коши-Адамара позволяет найти [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|радиус сходимости]] степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||
|
||
## Формула Даламбера
|
||
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
|
||
|
||
## Формула Коши
|
||
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. |