21 lines
1.7 KiB
Markdown
21 lines
1.7 KiB
Markdown
# Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
|
||
|
||
## Числовые ряды
|
||
**Числовой ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$, где $a_n$ — общий член ряда.
|
||
|
||
## Общий член ряда
|
||
**Общий член ряда** ($a_n$) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда.
|
||
Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $a_n = ar^n$, где *a* — первый член, а *r* — отношение между последующими членами.
|
||
|
||
## Сумма ряда
|
||
**Сумма ряда** (S) — это предел *частичных сумм* $S_n$: $S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$.
|
||
|
||
## Необходимое условие сходимости ряда
|
||
Если $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *сходится*, то $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$
|
||
Однако это условие не является *достаточным*. Например, гармонический ряд ($\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$) расходится, несмотря на то, что его общий член ($\frac 1 n$) стремится к нулю.
|
||
## Примеры
|
||
1. **Геометрический ряд**:
|
||
$\sum\limits_{n=0}^\infty ar^n$ *сходится*, если $|r| < 1$
|
||
2. **Гармонический ряд**:
|
||
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*
|