University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16.md

Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах

Предполные классы

1. класс, являющийся полным полным только при добавлении любой новой функции
2. максимальное по отношению включения неполное множество

Теорема о 5 предполных классах

Теорема

Существует ровно 5 предполных классов: T_0, T_1, S, M, L

Доказательство

НУО, возьмём класс L: [L] = L \ne P_2 (1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^ff2b6e) Возьмём функцию f \notin L и рассмотрим множество L \cup \{f\}. Если оно не полное, то по 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема оно должно быть подмножеством одного из классов T_0, T_1, S, M. Но тогда и L будет подмножеством этого класса, а это не так:

• L \nsubseteq S, т.к. 1 \in L - S
• L \nsubseteq M, L \nsubseteq T_0, L \nsubseteq T_1, т.к. \bar x \in L - (M \cup T_0 \cup T_1) Значит, L \cup \{f\} - полное для любой функции f, а значит, L - предпольный класс

Докажем теперь, что других предпольных классов нет: Пусть X - предпольный класс, отличный от T_0, T_1, S, M, L

По #Предполные классы, множество X не полное, значит, по 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема, оно включено в один из 5 классов

НУО, X \subseteq S. Т.к. X \ne S, то \exists f \in S, f \notin X Но тогда X \cup \{f\} \subseteq S и по теореме, X не полное, что противоречит определению