University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md

Арифметические свойства предела функции двух переменных

Определение

1. Сумма пределов равна пределу суммы:

     lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
   

2. Произведение пределов равно пределу произведения:

     lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
   

3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):

     lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
   

4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):

     lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
   

5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):

     lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
   

Примеры

1. Найти предел функции f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} при (x, y) \rightarrow (0, 0). Решение:

   Заметим, что функция f(x, y) не определена в точке (0, 0). Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
   

   Воспользуемся полярными координатами: x = r \cos \theta, y = r \sin \theta. Тогда

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
   

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
   

   Так как \cos 2\theta - ограниченная функция, то предел \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta не существует. Значит, предел \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) также не существует.

2. Найти предел функции f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4} при (x, y) \rightarrow (0, 0). Решение:

   Заметим, что функция f(x, y) определена в точке (0, 0) и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
   

   Воспользуемся полярными координатами: x = r \cos \theta, y = r \sin \theta. Тогда

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
   

     lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
   

   Так как оба предела равны нулю, то предел \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) также равен нулю.