61 lines
4.3 KiB
Markdown
61 lines
4.3 KiB
Markdown
# Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.
|
|
|
|
## Введение
|
|
|
|
Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.
|
|
|
|
## Условно сходящиеся ряды
|
|
|
|
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится.
|
|
|
|
## Признак Дирихле
|
|
|
|
Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
|
|
|
### Формулировка признака Дирихле
|
|
|
|
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
|
1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
|
|
2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$.
|
|
|
|
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
|
|
|
### Пример
|
|
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
|
|
|
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле.
|
|
|
|
## Признак Абеля
|
|
|
|
Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
|
|
|
### Формулировка признака Абеля
|
|
|
|
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
|
1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится.
|
|
2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна.
|
|
|
|
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
|
|
|
### Пример
|
|
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
|
|
|
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля.
|
|
|
|
## Теорема Римана
|
|
|
|
Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
|
|
|
### Формулировка теоремы Римана
|
|
|
|
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.
|
|
|
|
### Пример
|
|
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
|
|
|
Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
|
|