2.1 KiB
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Введение
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
Четные функции
Четная функция f(x) удовлетворяет условию f(x)=f(-x). Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)
где коэффициенты a_n определяются следующими формулами:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx
Пример
Рассмотрим четную функцию f(x)=|x| на интервале [-\pi,\pi].
Вычислим коэффициенты Фурье:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид:
f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)
Нечетные функции
Нечетная функция f(x) удовлетворяет условию f(x)=-f(-x). Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)
где коэффициенты b_n определяются следующими формулами:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx
Пример
Рассмотрим нечетную функцию f(x)=x на интервале [-\pi,\pi].
Вычислим коэффициенты Фурье:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид:
f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)