University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md

Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Почленное интегрирование степенных рядов

Теорема о почленном интегрировании

Пусть степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится на интервале (-R,R). Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R): \int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx

Доказательство

Поскольку ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R), то можно почленно интегрировать ряд: \int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

Найдем радиус сходимости: R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty

Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}. Почленно интегрируем ряд на интервале [0,1]: \int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1

Почленное дифференцирование степенных рядов

Теорема о почленном дифференцировании

Пусть степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится на интервале (-R,R). Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале: \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}

Доказательство

Поскольку ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n равномерно сходится на любом замкнутом интервале [a,b]\subset(-R,R), то можно почленно дифференцировать ряд: \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}

Пример

Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

Найдем радиус сходимости: R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty

Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}. Почленно дифференцируем ряд: \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x