62 lines
5.1 KiB
Markdown
62 lines
5.1 KiB
Markdown
# Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.
|
||
|
||
## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда
|
||
|
||
### Формулировка теоремы
|
||
|
||
Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:
|
||
1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
|
||
2. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
|
||
1. **Абсолютная сходимость**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n|\leq|a_n|R^n$. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
|
||
|
||
2. **Равномерная сходимость**:
|
||
Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b]\subset[-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по признаку Вейерштрасса.
|
||
|
||
## Непрерывность суммы степенного ряда
|
||
|
||
Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
|
||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
|
||
|
||
## Вторая теорема Абеля
|
||
|
||
Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
### Формулировка второй теоремы Абеля
|
||
|
||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
|
||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||
|
||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||
|
||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
## Примеры
|
||
|
||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости:
|
||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
|
||
|
||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости:
|
||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.
|