Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.

Свойства равномерно сходящихся рядов

Непрерывность суммы ряда

Если функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и все функции f_n(x) непрерывны на D, то сумма ряда S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) также непрерывна на D.

Доказательство

Пусть \epsilon>0. По определению равномерной сходимости, существует такое число N(\epsilon), что для всех n\geq N(\epsilon) и для всех x\in D выполняется: |S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}

Поскольку f_n(x) непрерывны, то и частичные суммы S_n(x) непрерывны. Следовательно, для любого x_0\in D существует такое \delta>0, что для всех x\in D таких, что |x-x_0|<\delta, выполняется: |S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}

Таким образом, S(x) непрерывна на D.

Почленное интегрирование

Если функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и все функции f_n(x) интегрируемы на D, то ряд можно интегрировать почленно: \int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x). Поскольку ряд равномерно сходится, то: \int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx

Почленное дифференцирование

Если функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на множестве D, и ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x) также равномерно сходится на D, то ряд можно дифференцировать почленно: S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x). Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)

Примеры

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}.

Оценим |f_n(x)|: |\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}

Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.

Поскольку все функции \frac{\sin(nx)}{n^2} непрерывны, то и сумма ряда S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} непрерывна.

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}.

Оценим |f_n(x)|: |\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}

Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=3>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.

Поскольку все функции \frac{\cos(nx)}{n^3} непрерывны, то и сумма ряда S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} непрерывна.

4.5 KiB Raw Blame History Unescape Escape