46 lines
3.6 KiB
Markdown
46 lines
3.6 KiB
Markdown
# Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
|
||
|
||
## Введение
|
||
|
||
Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
|
||
|
||
**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
|
||
|
||
## Признак Вейерштрасса
|
||
|
||
### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||
|
||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||
|
||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||
|
||
### Доказательство признака Вейерштрасса
|
||
|
||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$.
|
||
|
||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||
|
||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$
|
||
|
||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
|
||
|
||
## Примеры
|
||
|
||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||
|
||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||
|
||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||
|
||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||
|
||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||
|
||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|