3.3 KiB
Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
Введение
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной x.
Равномерная сходимость функциональных рядов
Функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) называется равномерно сходящимся на множестве D, если для любого \epsilon>0 существует такое число N(\epsilon), что для всех n\geq N(\epsilon) и для всех x\in D выполняется неравенство:
|S(x)-S_n(x)|<\epsilon
где S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) — сумма ряда, а S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x) — частичная сумма ряда.
Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}.
Оценим |f_n(x)|:
|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
Признак Вейерштрасса
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
Формулировка признака Вейерштрасса
Пусть \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел \sum_{n=1}^{\infty}M_n, такой что:
|f_n(x)|\leq M_n для всех x в области D и для всех n.
Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}M_n сходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на D.
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}.
Оценим |f_n(x)|:
|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=3>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.