Files

125 lines
4.1 KiB
Markdown
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
Определение:
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
$$
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
$$
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
Замечание:
Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
$$
o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
$$
причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
Свойства формулы Тейлора:
1. Линейность:
$$
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
$$
2. Произведение функций:
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
$$
3. Частное функций:
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
$$
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
$$
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
$$
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
$$
Примеры:
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
$$
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Решение:
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
$$
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
$$
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
$$
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
$$
$$
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
$$
$$
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
$$
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
$$
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
$$
Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.