University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md

Производная по направлению. Градиент:

Определение:

Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Производной функции f(x, y) по направлению вектора \mathbf{l} = (l_1, l_2) в точке (x_0, y_0) называется предел:

\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}

Обозначается она следующим образом:

\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}

Градиентом функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) называется вектор, составленный из частных производных функции f(x, y) по переменным x и y в точке (x_0, y_0):

\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)

Свойства производной по направлению и градиента:

1. Линейность производной по направлению:

\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}

2. Произведение функций:

\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}

3. Частное функций:

\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}

4. Связь производной по направлению и градиента:

\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}

5. Направление максимального увеличения функции:

Направление максимального увеличения функции f(x, y) в точке (x_0, y_0) задается вектором градиента \nabla f(x_0, y_0).

Примеры:

1. Найти производную функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 по направлению вектора \mathbf{l} = (2, 3) в точке (1, 2).

Решение:

Найдем частные производные функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2:

f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy

Подставим значения x = 1 и y = 2:

f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13

Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)

Найдем производную функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 по направлению вектора \mathbf{l} = (2, 3) в точке (1, 2):

\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71

Ответ: \frac{df}{dt}(1, 2) = 71.

2. Найти направление максимального увеличения функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2).

Решение:

Найдем вектор градиента функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2):

\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)

Направление максимального увеличения функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2) задается вектором градиента \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).

Ответ: \nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right).