3.7 KiB
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:
Формула интегрирования по частям
Пусть даны две функции u(x) и v(x), дифференцируемые на некотором интервале [a, b]. Тогда выполняется следующая формула интегрирования по частям:
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx + C,
где C - произвольная постоянная.
Эта формула может быть доказана с помощью правила произведения для дифференцирования:
(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).
Принципы интегрирования по частям
При вычислении неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям необходимо выбрать одну из функций u(x) и v(x), дифференцируемых на некотором интервале [a, b], таким образом, чтобы интеграл \int v(x) u'(x) \, dx был проще исходного интеграла \int u(x) v'(x) \, dx.
В качестве критерия выбора функций u(x) и v(x) можно использовать следующее правило:
- Если под знаком интеграла есть произведение функций, то следует выбрать в качестве
u(x)ту функцию, которая дифференцируется проще, а в качествеv(x)- ту функцию, которая интегрируется проще. - Если под знаком интеграла есть функция, которая может быть представлена в виде произведения двух функций, то следует попытаться выделить одну из этих функций в качестве
u(x)илиv(x)и применить формулу интегрирования по частям.
Примеры интегрирования по частям
Рассмотрим несколько примеров интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
Пример 1. Вычислить интеграл \int x \cos x \, dx.
Решение. Заметим, что \cos x дифференцируется проще, чем x, поэтому выберем u(x) = x, v'(x) = \cos x. Тогда u'(x) = 1, v(x) = \sin x и
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C.
Пример 2. Вычислить интеграл \int e^x \sin x \, dx.
Решение. Заметим, что \sin x дифференцируется проще, чем e^x, поэтому выберем u(x) = e^x, v'(x) = \sin x. Тогда u'(x) = e^x, v(x) = -\cos x и
\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx.
Для вычисления интеграла \int e^x \cos x \, dx снова применим интегрирование по частям, выбрав u(x) = e^x, v'(x) = \cos x. Тогда u'(x) = e^x, v(x) = \sin x и
\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx.
Получим систему уравнений:
\begin{cases} \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx, \\ \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx. \end{cases}
Решив эту систему, получим:
\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C.