University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md

Замена переменных в определенном интеграле

Формула замены переменных

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и пусть функция \varphi(t) дифференцируема на отрезке [\alpha, \beta] и при этом \varphi' (t) \ne 0 на этом отрезке. Предположим, что x = \varphi(t) - замена переменных, при которой \varphi(\alpha) = a и \varphi(\beta) = b. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] можно вычислить по формуле:

\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt.

Здесь f(\varphi(t)) - функция f(x), в которой выполнена замена переменных x = \varphi(t), а \varphi'(t) - производная функции \varphi(t) по переменной t.

Геометрический смысл

Геометрически замена переменных в определенном интеграле означает, что мы деформируем область интегрирования таким образом, чтобы она стала более простой. При этом значение интеграла не меняется, так как мы учитываем изменение масштаба при деформации.

Примеры

1. Вычислим интеграл \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx. Заменим переменную x = \sin t, где t \in [0, \frac{\pi}{2}]. Тогда dx = \cos t \, dt и \sqrt{1 - x^2} = \cos t. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:

     int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt.
   

   Теперь мы можем воспользоваться формулой редукции для интеграла от степени синуса или косинуса и вычислить интеграл:

     int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt = \left[ -\frac{1}{3} \cos^3 t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{3} \cos^3 \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cos^3 0 = \frac{1}{3}.
   

2. Вычислим интеграл \int_0^2 x e^{x^2} \, dx. Заменим переменную u = x^2, тогда du = 2x \, dx и x \, dx = \frac{1}{2} du. Пределы интегрирования при замене переменных изменятся следующим образом: u(0) = 0^2 = 0 и u(2) = 2^2 = 4. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:

     int_0^2 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du.
   

   Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

     frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^4 = \frac{1}{2} (e^4 - e^0) = \frac{1}{2} (e^4 - 1).
   

Правила замены переменных

• Функция \varphi(t) должна быть дифференцируема на отрезке [\alpha, \beta];
• Производная \varphi'(t) не должна обращаться в ноль на отрезке [\alpha, \beta];
• Пределы интегрирования должны соответствовать образу функции \varphi(t) на отрезке [\alpha, \beta].