6.0 KiB
Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие. Интегрирование простейших рациональных дробей:
Простейшие рациональные дроби
Простейшая рациональная дробь - это рациональная дробь, в знаменателе которой стоит степень неприводимого многочлена. То есть простейшая рациональная дробь имеет вид:
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x - a)^k},
где P(x) и Q(x) - многочлены, a - корень многочлена Q(x), k - натуральное число.
Разложение правильной дроби на простейшие
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие заключается в представлении ее в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
- Разложить знаменатель на множители, представляющие собой степени неприводимых многочленов.
- Разложить числитель по степеням этих неприводимых многочленов с помощью метода неопределенных коэффициентов.
- Приравнять полученные выражения для числителя и знаменателя и найти значения неопределенных коэффициентов.
Пример. Разложить на простейшие дроби \frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)}.
Решение. Разложим знаменатель на множители: (x - 1)^2 (x + 2). Запишем числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов: 3x + 1 = A (x - 1)^2 + B (x - 1) + C (x + 2). Приравняем числитель и знаменатель:
(3x + 1) = A (x - 1)^2 + B (x - 1) + C (x + 2).
Найдем значения неопределенных коэффициентов, подставляя в это уравнение различные значения x. Получим: A = -1, B = 4, C = 2. Таким образом, разложение на простейшие дроби имеет вид:
\frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} = -\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Для интегрирования простейших рациональных дробей используются следующие формулы:
\int \frac{dx}{(x - a)^k} = -\frac{1}{(k - 1) (x - a)^{k - 1}} + C, где k \neq 1;
\int \frac{dx}{x - a} = \ln |x - a| + C;
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} arctg(\frac{x}{a}) + C;
\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C.
Пример. Вычислить интеграл \int \frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} dx.
Решение. Разложим дробь на простейшие:
\frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} = -\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}.
Теперь вычислим интеграл:
\int \frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} dx = \int \left(-\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}\right) dx =
= -\int \frac{dx}{(x - 1)^2} + 4 \int \frac{dx}{x - 1} + 2 \int \frac{dx}{x + 2} = \frac{1}{x - 1} + 4 \ln |x - 1| + 2 \ln |x + 2| + C.
Интегрирование методом неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов - это метод вычисления неопределенных интегралов, основанный на представлении интеграла в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
- Разложить знаменатель на множители, представляющие собой степени неприводимых многочленов.
- Записать числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов, соответствующих степеням неприводимых многочленов в знаменателе.
- Приравнять полученные выражения для числителя и знаменателя и найти значения неопределенных коэффициентов.
Пример. Вычислить интеграл \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} dx.
Решение. Разложим знаменатель на множители: x^3 - x^2 = x^2 (x - 1). Запишем числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов: x^2 + 2x + 1 = A x^2 + B x + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x - 1}. Приравняем числитель и знаменатель:
x^2 + 2x + 1 = A x^2 + B x + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x - 1}.
Найдем значения неопределенных коэффициентов, подставляя в это уравнение различные значения x. Получим: A = 1, B = 2, C = 1, D = 0, E = -1. Таким образом, разложение на простейшие дроби имеет вид:
\frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^2}.
Теперь вычислим интеграл:
\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \ln |x| + 2 \ln |x - 1| - \frac{1}{x} + C.