University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md

Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Введение

Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.

Разложение функций произвольного периода

Пусть f(x) — функция с периодом T. Тогда ряд Фурье для функции f(x) имеет вид: f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right), где коэффициенты a_n и b_n определяются следующими формулами:

• a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx
• a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx
• b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx

Примеры

Пример 1: Функция f(x)=x на интервале [-L,L]

Рассмотрим функцию f(x)=x на интервале [-L,L]. Период функции T=2L.

Вычислим коэффициенты Фурье: a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^{L}x dx = 0 a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0 b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид: f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)

Пример 2: Функция f(x)=|x| на интервале [-L,L]

Рассмотрим функцию f(x)=|x| на интервале [-L,L]. Период функции T=2L.

Вычислим коэффициенты Фурье: a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| dx = L a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2} b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0

Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид: f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)