2.1 KiB
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Введение
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
Четные функции
Четная функция f(x) удовлетворяет условию f(x)=f(-x). Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)
где коэффициенты a_n определяются следующими формулами:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx
Пример
Рассмотрим четную функцию f(x)=|x| на интервале [-\pi,\pi].
Вычислим коэффициенты Фурье:
a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi
a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид: f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)
Нечетные функции
Нечетная функция f(x) удовлетворяет условию f(x) = -f(-x). Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)
где коэффициенты b_n определяются следующими формулами: b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx
Пример
Рассмотрим нечетную функцию f(x)=x на интервале [-\pi,\pi].
Вычислим коэффициенты Фурье: b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид: f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)