Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Разложение функций в степенные ряды

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки x_0 имеет вид: f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд Тейлора

Ряд Тейлора функции f(x) в окрестности точки x_0 имеет вид: f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, где f^{(n)}(x_0) — значение $n$-й производной функции f(x) в точке x_0.

Ряд Маклорена

Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда x_0=0: f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=e^x.

Ряд Маклорена для f(x)=e^x: e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Теорема

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x_0, и пусть существует такое число M, что для всех n выполняется: |f^{(n)}(x)| \leq M

для всех x в некоторой окрестности точки x_0. Тогда функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.

Доказательство

Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора: R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, где \xi — некоторая точка между x_0 и x.

Поскольку |f^{(n+1)}(\xi)| \leq M, то: |R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}

Поскольку \frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0 при n\to\infty, то R_n(x)\to0 при n\to\infty. Следовательно, ряд Тейлора сходится к f(x) в окрестности точки x_0.

Примеры

Функция $f(x)=\sin(x)$: Ряд Маклорена для f(x)=\sin(x): \sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Функция $f(x)=\cos(x)$: Ряд Маклорена для f(x)=\cos(x): \cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}

2.8 KiB Raw Permalink Blame History Unescape Escape

Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.