University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md

Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда

Равномерная сходимость функциональных рядов

Функциональный ряд \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) называется равномерно сходящимся на множестве D, если для любого \varepsilon>0 существует такое число N(\varepsilon), что для всех n \geq N(\varepsilon) и для всех x\in D выполняется неравенство: |S(x)-S_n(x)| < \varepsilon, где: ^392550

• S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) — 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b
• S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x) — 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9.

Связь между сходимостью и равномерной сходимостью

Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.

Пример

Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}.

Оценим |f_n(x)|: \left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}

Ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} сходится, так как это 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233 с p=2>1. Следовательно, ряд \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса.