39 lines
3.3 KiB
Markdown
39 lines
3.3 KiB
Markdown
Критерий Поста. Шефферовы функции
|
||
# Критерий Поста
|
||
## Теорема
|
||
Множество функций является полной системой тогда и только тогда, когда оно не включено ни в один из классов $T_0, T_1, S, M, L$.
|
||
|
||
## Доказательство
|
||
Пусть A - множество функций. Допустим, что $A \subseteq X$, где X - один из 5 классов. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^02f9e1|свойству замыкания]] $[A] \subseteq [X]$
|
||
|
||
Т.к. X - замкнутый класс, то $[X] = X$ и, следовательно, $[A] \subseteq X \ne P_2$
|
||
Следовательно, и A не полная система
|
||
|
||
Докажем обратное: пусть A не является подмножеством ни одного из 5 классов. Тогда в нём имеются такие функции $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5$, что $f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L$. Некоторые (или все) могут совпадать
|
||
|
||
Рассмотрим $f_1 \notin T_0 \Rightarrow f(0, \dots 0) = 1$. Рассмотрим 2 случая:
|
||
1. $f_1(1, \dots, 1) = 0$, тогда $f_1(x, \dots, x) = \bar x$
|
||
|
||
По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11#Лемма|лемме о несамодвойственной функции]], $\{0, 1\} \subseteq [\{f_3, \bar x\}]$
|
||
По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$
|
||
|
||
Таким образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из множества $\{f_1, f_3, f_5\}$
|
||
|
||
2. $f_1(1, \dots, 1) = 1$, тогда $f_1(x, \dots, x) = 1$
|
||
Т.к. $f_2 \notin T_1$, то $f_2(1, \dots, 1) = 0$. Значит, подставляя 1 вместо всех переменных в $f_2$, получим 0. Итак, $\{0, 1\} \subseteq [\{f_1, f_2\}]$
|
||
|
||
По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12#Лемма|лемме о немонотонной функции]], $\bar x \in [\{f_4, 0, 1\}]$
|
||
По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$
|
||
|
||
Таким образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из $\{f_1, f_2, f_4, f_5\}$
|
||
В обоих случаях $\set{\bar x, xy} \subseteq [\set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5}] \subseteq [A]$
|
||
Множество $\set{\bar x, xy}$ - полная система. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#Теорема|теореме сведения]] множество A - тоже полная система
|
||
|
||
# Шефферовы функции
|
||
- **Шефферова функция** - $[\{f\}] = P_2$, т.е. функция, множество из одной такой функции являющееся полной системой ^27f049
|
||
|
||
## Примеры
|
||
- $\overline{x_1x_2 \dots x_n}$ при $b \ge 2$
|
||
Единственные Шеферовы функции от 2х переменных:
|
||
- $x | y$
|
||
- $x \downarrow y$ |