Files

59 lines
4.8 KiB
Markdown
Raw Permalink Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

Несобственный интеграл 1-го рода: определение, признак сравнения
# Несобственный интеграл 1-го рода
Пусть дана функция $f(x)$, непрерывная на отрезке $[a, b)$, и пусть $\int_a^b f(x) \, dx$ - ее определенный интеграл на этом отрезке. Тогда несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $[a, +\infty)$ определяется как предел:
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \, dx,
$$
при условии, что этот предел существует.
Аналогично, несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $(-\infty, b]$ определяется как предел:
$$
\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx,
$$
при условии, что этот предел существует.
Если функция $f(x)$ имеет бесконечность в точке $c$ области интегрирования, то несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ определяется как предел:
$$
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_a^{c-\varepsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) \, dx \right),
$$
при условии, что этот предел существует.
## Признак сравнения
Признак сравнения - это один из основных методов исследования сходимости несобственных интегралов 1-го рода. Он основан на сравнении исследуемого интеграла с другим интегралом, сходимость или расходимость которого уже известна.
Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, непрерывные на отрезке $[a, +\infty)$, и пусть $0 \le f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, +\infty)$. Тогда:
- Если несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ сходится, то несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ также сходится.
- Если несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ расходится, то несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ также расходится.
Аналогичные утверждения справедливы для несобственных интегралов на отрезке $(-\infty, b]$ и на отрезке $[a, b]$, содержащем точку бесконечности функции.
## Примеры
1. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$.
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ непрерывна и положительна на отрезке $[1, +\infty)$. Кроме того, она убывает, поэтому можно воспользоваться признаком сравнения. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = \frac{1}{x^{1+\varepsilon}}$, где $\varepsilon > 0$. Тогда:
$$
0 \le \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \quad \forall x \in [1, +\infty).
$$
Несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \, dx$ сходится при $\varepsilon > 0$, поэтому несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ также сходится.
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$.
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ непрерывна и положительна на отрезке $(0, 1]$. Кроме того, она имеет бесконечность в точке $x = 0$. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = \frac{1}{x^{1-\varepsilon}}$, где $0 < \varepsilon < 1$. Тогда:
$$
0 \le \frac{1}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \quad \forall x \in (0, 1].
$$
Несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \, dx$ сходится при $0 < \varepsilon < 1$, поэтому несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ также сходится.