3.8 KiB
Понятие ДУ 1-го порядка, решение ДУ, задача Коши, геометрический смысл ДУ и его решения. Понятия общего и частного решений для ДУ 1-го порядка.
Определение:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:
F(x, y, y') = 0
где F - некоторая функция от трех переменных x, y, y', y' - первая производная функции y по переменной x.
Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется любая функция y = f(x), удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
F(x, f(x), f'(x)) = 0
для всех x из некоторого интервала.
Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка состоит в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида:
y(x_0) = y_0
где x_0 и y_0 - заданные числа.
Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка заключается в том, что оно определяет направление касательной к графику решения уравнения в каждой точке. Решение уравнения - это кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление, заданное дифференциальным уравнением.
Понятия общего и частного решений для дифференциального уравнения 1-го порядка:
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется множество всех решений уравнения, зависящих от произвольной постоянной.
Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется конкретное решение уравнения, полученное из общего решения путем присваивания произвольной постоянной определенного значения.
Примеры:
- Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
y' = 2x
Решение:
Интегрируем обе части уравнения:
y = x^2 + C
где C - произвольная постоянная.
Ответ: Общее решение дифференциального уравнения y' = 2x имеет вид y = x^2 + C.
- Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
y' = 2x
с начальным условием y(1) = 2.
Решение:
Найдем общее решение уравнения:
y = x^2 + C
Подставим начальное условие:
2 = 1^2 + C
Найдем значение произвольной постоянной:
C = 1
Подставим значение произвольной постоянной в общее решение:
y = x^2 + 1
Ответ: Частное решение дифференциального уравнения y' = 2x с начальным условием y(1) = 2 имеет вид y = x^2 + 1.