Files

92 lines
3.8 KiB
Markdown
Raw Permalink Normal View History

>Понятие ДУ 1-го порядка, решение ДУ, задача Коши, геометрический смысл ДУ и его решения. Понятия общего и частного решений для ДУ 1-го порядка.
Определение:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:
$$
F(x, y, y') = 0
$$
где $F$ - некоторая функция от трех переменных $x, y, y'$, $y'$ - первая производная функции $y$ по переменной $x$.
Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется любая функция $y = f(x)$, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
$$
F(x, f(x), f'(x)) = 0
$$
для всех $x$ из некоторого интервала.
Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка состоит в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида:
$$
y(x_0) = y_0
$$
где $x_0$ и $y_0$ - заданные числа.
Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка заключается в том, что оно определяет направление касательной к графику решения уравнения в каждой точке. Решение уравнения - это кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление, заданное дифференциальным уравнением.
Понятия общего и частного решений для дифференциального уравнения 1-го порядка:
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется множество всех решений уравнения, зависящих от произвольной постоянной.
Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется конкретное решение уравнения, полученное из общего решения путем присваивания произвольной постоянной определенного значения.
Примеры:
1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
$$
y' = 2x
$$
Решение:
Интегрируем обе части уравнения:
$$
y = x^2 + C
$$
где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: Общее решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ имеет вид $y = x^2 + C$.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
$$
y' = 2x
$$
с начальным условием $y(1) = 2$.
Решение:
Найдем общее решение уравнения:
$$
y = x^2 + C
$$
Подставим начальное условие:
$$
2 = 1^2 + C
$$
Найдем значение произвольной постоянной:
$$
C = 1
$$
Подставим значение произвольной постоянной в общее решение:
$$
y = x^2 + 1
$$
Ответ: Частное решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ с начальным условием $y(1) = 2$ имеет вид $y = x^2 + 1$.