University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md

Определения предела функции двух переменных:

Предел функции двух переменных

Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов (x, y) к некоторой точке (x_0, y_0).

Определение

Пусть f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0), кроме самой этой точки. Говорят, что функция f(x, y) имеет предел A при (x, y) \rightarrow (x_0, y_0), если для любого \epsilon > 0 существует \delta > 0 такое, что для всех (x, y) из окрестности точки (x_0, y_0), удовлетворяющих неравенству 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta, выполняется неравенство |f(x, y) - A| < \epsilon.

\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon

[!Замечание] Знак \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} называется расстоянием между точками (x, y) и (x_0, y_0).

Примеры

1. Найти предел функции f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} при (x, y) \rightarrow (0, 0). Решение: Заметим, что функция f(x, y) не определена в точке (0, 0). Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: x = r \cos \theta, y = r \sin \theta. Тогда f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}. При (x, y) \rightarrow (0, 0) имеем r \rightarrow 0. Но при r \rightarrow 0 функция f(x, y) не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k, где k \in \mathbb{Z}.

   Поэтому предел функции f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} при (x, y) \rightarrow (0, 0) не существует.

2. Найти предел функции f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} при (x, y) \rightarrow (0, 0). Решение: Заметим, что функция f(x, y) определена в точке (0, 0) и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: x = r \cos \theta, y = r \sin \theta. Тогда f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}. При (x, y) \rightarrow (0, 0) имеем r \rightarrow 0. Но при r \rightarrow 0 функция f(x, y) стремится к нулю, так как r в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.

   Поэтому предел функции f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} при (x, y) \rightarrow (0, 0) равен нулю.

Замечание

Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:

1. Вычислить радиус-вектор точки r по формуле:

   = \sqrt{x^2 + y^2}$

2. Вычислить угол \theta между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:

     theta = \begin{cases}
    arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
    arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
    arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
    frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
    \frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
    text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
    end{cases}