[style] Change headers style
This commit is contained in:
@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
Логическая функция и способы её задания. Число логических функций.
|
||||
Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики.
|
||||
Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул.
|
||||
Логическая функция и способы её задания. Число логических функций.
|
||||
Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики.
|
||||
Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул.
|
||||
|
||||
# Логическая функция и способы её задания.
|
||||
- **Логическая функция** (булева) - функция, у которой каждая переменная принимает значения {0, 1} и сама функция возвращает значение из такого множества $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$
|
||||
|
||||
@ -1,43 +1,45 @@
|
||||
Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
|
||||
Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
|
||||
|
||||
1. Булева алгебра и её основные свойства
|
||||
# Булева алгебра и её основные свойства
|
||||
Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$
|
||||
Множество **А**
|
||||
2 элемента: **0, 1**
|
||||
2 бинарных операций: &, |
|
||||
Унарная операция: $\bar{}$
|
||||
со следующими свойствами:
|
||||
1. Ассоциативность
|
||||
$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
|
||||
$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
|
||||
2. Коммутативность
|
||||
$x \wedge y = y \wedge x$
|
||||
$x \vee y = y \vee x$
|
||||
3. Дистрибутивность
|
||||
$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
|
||||
$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
|
||||
4. Идемпотентность
|
||||
$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
|
||||
2. Основные функции
|
||||
1. Законы де Моргана
|
||||
$\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
|
||||
$\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
|
||||
2. Закон двойного отрицания
|
||||
$\bar{\bar x} = x$
|
||||
3. Закон противоречия (исключённого третьего)
|
||||
$x \wedge \bar x = 0$
|
||||
$x \vee \bar x = 1$
|
||||
4. Свойства констант
|
||||
$x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$
|
||||
$x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$
|
||||
$\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$
|
||||
5. Законы поглощения
|
||||
$x \wedge (x \vee y) = x$
|
||||
$x \vee (x \wedge y) = x$
|
||||
6. Закон Блейка-Порецкого
|
||||
$x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
|
||||
$x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
|
||||
3. **Булева формула** - формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
|
||||
4. Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
|
||||
- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
|
||||
- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 * D_2 * \dots * D_m$,, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции
|
||||
1. Ассоциативность
|
||||
$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
|
||||
$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
|
||||
2. Коммутативность
|
||||
$x \wedge y = y \wedge x$
|
||||
$x \vee y = y \vee x$
|
||||
3. Дистрибутивность
|
||||
$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
|
||||
$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
|
||||
4. Идемпотентность
|
||||
$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
|
||||
## Основные функции
|
||||
1. Законы де Моргана
|
||||
$\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
|
||||
$\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
|
||||
2. Закон двойного отрицания
|
||||
$\bar{\bar x} = x$
|
||||
3. Закон противоречия (исключённого третьего)
|
||||
$x \wedge \bar x = 0$
|
||||
$x \vee \bar x = 1$
|
||||
4. Свойства констант
|
||||
$x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$
|
||||
$x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$
|
||||
$\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$
|
||||
5. Законы поглощения
|
||||
$x \wedge (x \vee y) = x$
|
||||
$x \vee (x \wedge y) = x$
|
||||
6. Закон Блейка-Порецкого
|
||||
$x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
|
||||
$x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
|
||||
# **Булева формула**
|
||||
\- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
|
||||
|
||||
# Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
|
||||
- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
|
||||
- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции
|
||||
@ -1,23 +1,22 @@
|
||||
Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
|
||||
Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
|
||||
|
||||
1. Совершенные ДНФ и КНФ
|
||||
- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ)
|
||||
- **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ)
|
||||
2. Разложение функции по переменной
|
||||
$$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
x^\alpha =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\bar x &\text{если $\alpha = 0$}\\
|
||||
x &\text{если $\alpha = 1$}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$$
|
||||
**Теорема (о разложении функции по переменной)**: Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество $$
|
||||
f(x_1, x_2, \dots, x_n)
|
||||
= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)
|
||||
= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)
|
||||
$$
|
||||
...
|
||||
3. Единственность СДНФ и СКНФ
|
||||
# Совершенные ДНФ и КНФ
|
||||
- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ)
|
||||
- **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ)
|
||||
# Разложение функции по переменной
|
||||
$$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
x^\alpha =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\bar x &\text{если $\alpha = 0$}\\
|
||||
x &\text{если $\alpha = 1$}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$$
|
||||
###### Теорема
|
||||
Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество
|
||||
$f(x_1, x_2, \dots, x_n) =$
|
||||
$= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) =$
|
||||
$= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
||||
...
|
||||
|
||||
@ -1,12 +1,14 @@
|
||||
Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ.
|
||||
Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ.
|
||||
|
||||
1. **Импликанта** - элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$
|
||||
2. **Теорема (свойство склейки)**:
|
||||
Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция,
|
||||
причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 –
|
||||
тоже импликанта этой функции.
|
||||
**Доказательство**
|
||||
Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$
|
||||
Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$
|
||||
$(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$
|
||||
3. **Сокращённая ДНФ** - дизъюнкция всех простых испликант функции
|
||||
# Импликанта
|
||||
\- элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$
|
||||
|
||||
# Свойство склейки
|
||||
###### Теорема:
|
||||
Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции.
|
||||
###### Доказательство
|
||||
Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$
|
||||
Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$
|
||||
$(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$
|
||||
# Сокращённая ДНФ
|
||||
\- дизъюнкция всех простых испликант функции
|
||||
@ -1,12 +1,13 @@
|
||||
Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона.
|
||||
Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона.
|
||||
|
||||
1. Построение сокращенной ДНФ
|
||||
![[Pasted image 20240607225319.png]]
|
||||
2. Метод Квайна
|
||||
1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах.
|
||||
2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов.
|
||||
3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки.
|
||||
4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки.
|
||||
5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ.
|
||||
3. Метод Нельсона
|
||||
Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные
|
||||
# Построение сокращенной ДНФ
|
||||
![[Pasted image 20240607225319.png]]
|
||||
|
||||
# Метод Квайна
|
||||
1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах.
|
||||
2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов.
|
||||
3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки.
|
||||
4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки.
|
||||
5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ.
|
||||
# Метод Нельсона
|
||||
Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные
|
||||
@ -1,33 +1,40 @@
|
||||
Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
|
||||
Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
|
||||
|
||||
1. **Алгебра Жегалкина** - алгебраическая система для описания логических функций
|
||||
1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
|
||||
2. Нет отрицания
|
||||
3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
|
||||
2. Свойства $\oplus$:
|
||||
- $x\oplus 0 = x$
|
||||
- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
|
||||
- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
|
||||
- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
|
||||
- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
|
||||
- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
|
||||
3. Полином Жегалкина
|
||||
1. Нет скобок
|
||||
2. Нет одинаковых слагаемых
|
||||
3. Одним из слагаемых может быть 1
|
||||
4. 0 - полином, но не слагаемое
|
||||
4. **Теорема.** Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
|
||||
*Доказательство*:
|
||||
f - логическая функция
|
||||
P(f) - её полином
|
||||
|
||||
- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|СДНФ]])
|
||||
- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
|
||||
- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
|
||||
- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
|
||||
- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$)
|
||||
|
||||
Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов
|
||||
|
||||
Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции
|
||||
# **Алгебра Жегалкина**
|
||||
\- алгебраическая система для описания логических функций
|
||||
1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
|
||||
2. Нет отрицания
|
||||
3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
|
||||
|
||||
# Свойства $\oplus$:
|
||||
- $x\oplus 0 = x$
|
||||
- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
|
||||
- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
|
||||
- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
|
||||
- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
|
||||
- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
|
||||
|
||||
# Полином Жегалкина
|
||||
1. Нет скобок
|
||||
2. Нет одинаковых слагаемых
|
||||
3. Одним из слагаемых может быть 1
|
||||
4. 0 - полином, но не слагаемое
|
||||
|
||||
# Единственность полинома Жегалкина
|
||||
###### Теорема.
|
||||
Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
|
||||
|
||||
###### Доказательство:
|
||||
f - логическая функция
|
||||
P(f) - её полином
|
||||
|
||||
- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]])
|
||||
- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
|
||||
- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
|
||||
- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
|
||||
- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$)
|
||||
|
||||
Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов
|
||||
|
||||
Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции
|
||||
|
||||
@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
|
||||
Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
|
||||
# Ациклический орграф
|
||||
**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
|
||||
**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
|
||||
|
||||
@ -1,9 +1,9 @@
|
||||
Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.
|
||||
Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.
|
||||
|
||||
# Схемы из функциональных элементов
|
||||
**СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов:
|
||||
1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной
|
||||
2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
|
||||
2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7#Ациклический орграф|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
|
||||
Для гейтов используется ограниченный набор функций:
|
||||
- **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$
|
||||
- **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$
|
||||
@ -19,4 +19,4 @@
|
||||
|
||||
# Способы построения схем в стандартном базисе
|
||||
1. Использование нормальных форм
|
||||
2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|Разложение по переменной]]
|
||||
2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]]
|
||||
|
||||
@ -1,23 +1,22 @@
|
||||
Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
|
||||
Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
|
||||
|
||||
# Суперпозиция функций
|
||||
**Суперпозиция** функции из множества A -
|
||||
1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
|
||||
2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_
|
||||
|
||||
**Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
|
||||
- **Суперпозиция** функции из множества A -
|
||||
1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
|
||||
2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_
|
||||
- **Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
|
||||
|
||||
## Операции над функциями
|
||||
1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена
|
||||
$f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$
|
||||
**Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$)
|
||||
1. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция
|
||||
2. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция
|
||||
$f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
||||
# Замыкание системы функций
|
||||
**Замыкание** множества А (\[A\]) -
|
||||
1. множество всех суперпозиций функция из A
|
||||
2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
|
||||
**Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\])
|
||||
- **Замыкание** множества А (\[A\]) -
|
||||
1. множество всех суперпозиций функция из A
|
||||
2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
|
||||
- **Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\])
|
||||
|
||||
# Свойства замыкания
|
||||
- $A \subseteq [A]$
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user