Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# Разложение в ряд Фурье непериодической функции
+
+## Введение
+
+Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
+
+## Интегральное преобразование Фурье
+
+Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом:
+$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$
+
+где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
+
+## Обратное преобразование Фурье
+
+Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$:
+$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$
+
+## Примеры
+
+### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$.
+
+Вычислим преобразование Фурье:
+$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$
+
+Рассчитаем интегралы:
+$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$
+
+Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
+$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$
+
+### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$.
+
+Вычислим преобразование Фурье:
+$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$
+
+Используем известный результат:
+$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
+
+Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
+$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$