Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
+
+## Гармонический ряд
+
+Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
+$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
+
+### Сходимость гармонического ряда
+
+Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
+$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
+
+Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
+$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
+где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
+
+Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
+
+## Обобщенный гармонический ряд
+
+Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
+$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
+где $p$ — положительное число.
+
+### Сходимость обобщенного гармонического ряда
+
+Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
+- Если $p > 1$, то ряд сходится.
+- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
+
+Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
+$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
+
+Для $p > 1$:
+$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
+
+Для $p \leq 1$:
+$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
+
+Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
+
+## Примеры
+
+1. **Гармонический ряд**:
+$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
+Расходится.
+
+2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
+$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
+Сходится, так как $p = 2 > 1$.
+
+3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
+$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
+Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.