Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md

@@ -0,0 +1,47 @@
+# Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
+
+## Введение
+
+Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. 
+
+## Формула Коши-Адамара
+
+Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
+$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+
+Найдем радиус сходимости:
+$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+
+Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
+
+## Формула Даламбера
+
+Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
+$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
+
+Найдем радиус сходимости:
+$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$
+
+Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
+
+## Формула Коши
+
+Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
+$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
+
+Найдем радиус сходимости:
+$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$
+
+Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.