[style](himath): Correct second section
This commit is contained in:
@ -1,7 +1,6 @@
|
||||
>Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных
|
||||
|
||||
# Определение
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
@ -9,19 +8,16 @@ $$
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
@ -41,110 +37,102 @@ f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
|
||||
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков:
|
||||
|
||||
# Свойства
|
||||
1. Линейность частных производных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частные функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Смешанные производные:
|
||||
$$
|
||||
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
# Примеры
|
||||
1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
|
||||
**Решение**:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
|
||||
|
||||
2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
|
||||
**Решение**:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user