Highmath: edit
This commit is contained in:
@ -1,37 +1,29 @@
|
||||
## Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.
|
||||
|
||||
### Определение двойного интеграла
|
||||
|
||||
### Определение
|
||||
Двойной интеграл функции двух переменных $f(x, y)$ по области $D$ на плоскости $xy$ определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $D$ разбита на $n$ подобластей $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, то двойной интеграл определяется как:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
|
||||
|
||||
где $(x_i, y_i)$ — произвольная точка в подобласти $D_i$, а $\Delta A_i$ — площадь подобласти $D_i$.
|
||||
|
||||
### Свойства двойного интеграла
|
||||
|
||||
### Свойства
|
||||
1. **Линейность**:
|
||||
- Если $f(x, y)$ и $g(x, y)$ интегрируемы на $D$, то для любых констант $a$ и $b$:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint_{D} f(x, y) \, dA + b \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint\limits_D f(x, y) \, dA + b \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
2. **Аддитивность**:
|
||||
- Если $D$ разбита на две непересекающиеся области $D_1$ и $D_2$, то:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \iint_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint_{D_2} f(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint\limits_{D_2} f(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
3. **Монотонность**:
|
||||
- Если $f(x, y) \geq g(x, y)$ для всех $(x, y)$ в $D$, то:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA \geq \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA \geq \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
4. **Абсолютная интегрируемость**:
|
||||
- Если $f(x, y)$ интегрируема на $D$, то и $|f(x, y)|$ также интегрируема на $D$, причем:
|
||||
|
||||
$$\left| \iint_{D} f(x, y) \, dA \right| \leq \iint_{D} |f(x, y)| \, dA.$$
|
||||
$$\left| \iint\limits_D f(x, y) \, dA \right| \leq \iint\limits_D |f(x, y)| \, dA$$
|
||||
|
||||
### Теорема существования двойного интеграла
|
||||
|
||||
Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $D$, то двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ существует.
|
||||
|
||||
Формально, если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, то для любого разбиения области $D$ на подобласти $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана:
|
||||
@ -41,17 +33,13 @@ $$\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i$$
|
||||
имеет предел при $\delta_i \to 0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i)$ в подобластях $D_i$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть $f(x, y) = x^2 y$ и область $D$ ограничена прямоугольником с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(0,2)$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} x^2 y \, dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy.$$
|
||||
$$\iint\limits_D x^2 y \, dA = \int_0^2 \int_0^1 x^2 y \, dx \, dy$$
|
||||
|
||||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{1} x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_{0}^{1} = \frac{y}{3}.$$
|
||||
$$\int\limits_0^1 x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_0^1 = \frac y 3$$
|
||||
|
||||
Теперь вычислим внешний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{2} \frac{y}{3} \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}.$$
|
||||
$$\int\limits_0^2 \frac y 3 \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_0^2 = \frac 2 3$$
|
||||
|
||||
Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{4}{3}$.
|
@ -1,49 +1,35 @@
|
||||
## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
|
||||
|
||||
### 1. Вычисление площади области
|
||||
|
||||
Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области $D$ на плоскости $xy$. Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
|
||||
$$A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
|
||||
Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
$$A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
|
||||
|
||||
### 2. Вычисление объема тела
|
||||
|
||||
Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$
|
||||
$$V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.$$
|
||||
|
||||
### 3. Вычисление массы пластины
|
||||
|
||||
Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
|
||||
$$M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.$$
|
||||
$$M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.$$
|
||||
|
||||
### 4. Вычисление центра масс пластины
|
||||
|
||||
Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как:
|
||||
|
||||
$$x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
|
||||
|
||||
$$y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
|
||||
$$x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
|
||||
$$y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
|
||||
|
||||
### 5. Вычисление моментов инерции
|
||||
|
||||
Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как:
|
||||
|
||||
$$I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,$$
|
||||
$$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,$$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.$$
|
||||
$$V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta$$
|
||||
|
||||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$
|
||||
$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4$$
|
||||
|
||||
Теперь вычислим внешний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.$$
|
||||
$$\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2$$
|
||||
|
||||
Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$.
|
Reference in New Issue
Block a user