Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md

@@ -2,45 +2,36 @@
 
 ## Введение
 
-Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
-$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
+**Ряд Маклорена** — это частный случай [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18#Ряд Тейлора|ряда Тейлора]], когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
 
 ## Разложение элементарных функций
 
 ### Экспоненциальная функция
 
-Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
-$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
+Функция $f(x) = e^x$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
 
 #### Доказательство
+Вычислим производные функции $f(x) = e^x$: $f^{(n)}(x) = e^x$
 
-Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
-$f^{(n)}(x)=e^x$
-
-Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
-$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
+Таким образом, $f^{(n)}(0) = 1$ для всех $n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} x^n$
 
 ### Синус
-
-Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
-$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
+Функция $f(x) = \sin(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
+$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
 
 #### Доказательство
-
 Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
-$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
-$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
+$f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin(x)$
+$f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos(x)$
 
-Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+Таким образом, $f^{(2n)}(0) = 0$ и $f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
 $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
 
 ### Косинус
-
-Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
-$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
+Функция $f(x) = \cos(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
+$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
 
 #### Доказательство
-
 Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
 $f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
 $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
@@ -49,14 +40,12 @@ $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
 $\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
 
 ### Логарифм
-
-Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
-$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
+Функция $f(x) = \ln(1+x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
+$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$$
 
 #### Доказательство
+Вычислим производные функции $f(x) = \ln(1+x)$:
+$f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)! (1+x)^{-n}$
 
-Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
-$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$
-
-Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
-$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
+Таким образом, $f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} (n-1)!$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
+$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$