Добавлен 2 блок билетов по мат анализу

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md

@@ -0,0 +1,61 @@
+## Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Полный дифференциал. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
+
+### Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
+
+Криволинейный интеграл второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ по кривой $C$ определяется как:
+
+$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$
+
+Этот интеграл не зависит от пути интегрирования, если векторное поле $\mathbf{F}$ является потенциальным, то есть существует скалярная функция $U(x, y, z)$, такая что:
+
+$$\mathbf{F}=\nabla U.$$
+
+Это означает, что:
+
+$$P=\frac{\partial U}{\partial x},$$
+$$Q=\frac{\partial U}{\partial y},$$
+$$R=\frac{\partial U}{\partial z}.$$
+
+### Полный дифференциал
+
+Полный дифференциал функции $U(x, y, z)$ определяется как:
+
+$$dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz.$$
+
+Если векторное поле $\mathbf{F}$ является потенциальным, то:
+
+$$P\,dx+Q\,dy+R\,dz=dU.$$
+
+### Восстановление функции по её полному дифференциалу
+
+Если известен полный дифференциал функции $U(x, y, z)$, то можно восстановить саму функцию $U(x, y, z)$ с точностью до аддитивной константы. Для этого нужно интегрировать полный дифференциал по некоторому пути от начальной точки $(x_0, y_0, z_0)$ до конечной точки $(x, y, z)$:
+
+$$U(x,y,z)=U(x_0,y_0,z_0)+\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}dU.$$
+
+#### Пример
+
+Рассмотрим пример восстановления функции по её полному дифференциалу. Пусть полный дифференциал функции $U(x, y, z)$ имеет вид:
+
+$$dU=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz.$$
+
+Для восстановления функции $U(x, y, z)$ интегрируем полный дифференциал по пути от начальной точки $(0, 0, 0)$ до конечной точки $(x, y, z)$. Выберем путь, состоящий из трёх отрезков: от $(0, 0, 0)$ до $(x, 0, 0)$, от $(x, 0, 0)$ до $(x, y, 0)$ и от $(x, y, 0)$ до $(x, y, z)$.
+
+1. На первом отрезке $dy=0$ и $dz=0$, поэтому:
+
+$$\int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)}dU=\int_{0}^{x}yz\,dx=0.$$
+
+2. На втором отрезке $dx=0$ и $dz=0$, поэтому:
+
+$$\int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)}dU=\int_{0}^{y}xz\,dy=0.$$
+
+3. На третьем отрезке $dx=0$ и $dy=0$, поэтому:
+
+$$\int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)}dU=\int_{0}^{z}xy\,dz=xyz.$$
+
+Суммируя результаты, получаем:
+
+$$U(x,y,z)=U(0,0,0)+xyz.$$
+
+Так как $U(0,0,0)$ — это произвольная константа, обозначим её как $C$. Тогда:
+
+$$U(x,y,z)=xyz+C.$$