Добавлен 2 блок билетов по мат анализу

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md

@@ -0,0 +1,101 @@
+## Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
+
+### Криволинейные координаты в пространстве
+
+Криволинейные координаты $(u, v, w)$ в пространстве определяются через декартовы координаты $(x, y, z)$ с помощью преобразования:
+
+$$x=x(u,v,w),$$
+$$y=y(u,v,w),$$
+$$z=z(u,v,w).$$
+
+Эти преобразования должны быть взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми в области $V$.
+
+### Выражение объема в криволинейных координатах
+
+Объем элементарной области в криволинейных координатах $(u, v, w)$ выражается через якобиан преобразования:
+
+$$dV=|J|\,du\,dv\,dw,$$
+
+где якобиан $J$ определяется как:
+
+$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}.$$
+
+### Замена переменных в тройном интеграле
+
+Для замены переменных в тройном интеграле используется якобиан преобразования. Если $f(x, y, z)$ — функция, определенная на области $V$ в декартовых координатах, то тройной интеграл в криволинейных координатах $(u, v, w)$ выражается как:
+
+$$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{V'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,du\,dv\,dw,$$
+
+где $V'$ — область в координатах $(u, v, w)$, соответствующая области $V$ в координатах $(x, y, z)$.
+
+### Цилиндрические координаты
+
+Цилиндрические координаты $(r, \theta, z)$ определяются следующим образом:
+
+$$x=r\cos\theta,$$
+$$y=r\sin\theta,$$
+$$z=z.$$
+
+Якобиан преобразования для цилиндрических координат равен:
+
+$$J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{vmatrix}=r.$$
+
+Таким образом, объем элементарной области в цилиндрических координатах выражается как:
+
+$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$$
+
+### Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
+
+Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2$ по цилиндру радиуса $R$ и высоты $h$, центрированного в начале координат. В цилиндрических координатах $(r, \theta, z)$ область $V$ описывается как $0 \leq r \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ и $0 \leq z \leq h$. Тогда тройной интеграл можно вычислить как:
+
+$$\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{h}r^2r\,dz\,dr\,d\theta.$$
+
+Вычислим внутренний интеграл:
+
+$$\int_{0}^{h}r^3\,dz=r^3h.$$
+
+Теперь вычислим следующий интеграл:
+
+$$\int_{0}^{R}r^3h\,dr=\left[\frac{r^4h}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4h}{4}.$$
+
+И, наконец, вычислим внешний интеграл:
+
+$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4h}{4}\,d\theta=\frac{R^4h}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4h}{2}.$$
+
+Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{\pi R^4h}{2}$.
+
+### Сферические координаты
+
+Сферические координаты $(\rho, \theta, \phi)$ определяются следующим образом:
+
+$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,$$
+$$y=\rho\sin\phi\sin\theta,$$
+$$z=\rho\cos\phi.$$
+
+Якобиан преобразования для сферических координат равен:
+
+$$J=\begin{vmatrix}\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi&-\rho\sin\phi&0\end{vmatrix}=\rho^2\sin\phi.$$
+
+Таким образом, объем элементарной области в сферических координатах выражается как:
+
+$$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\theta\,d\phi.$$
+
+### Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
+
+Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ по шару радиуса $R$, центрированного в начале координат. В сферических координатах $(\rho, \theta, \phi)$ область $V$ описывается как $0 \leq \rho \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ и $0 \leq \phi \leq \pi$. Тогда тройной интеграл можно вычислить как:
+
+$$\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\rho^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$$
+
+Вычислим внутренний интеграл:
+
+$$\int_{0}^{R}\rho^4\sin\phi\,d\rho=\left[\frac{\rho^5\sin\phi}{5}\right]_{0}^{R}=\frac{R^5\sin\phi}{5}.$$
+
+Теперь вычислим следующий интеграл:
+
+$$\int_{0}^{\pi}\frac{R^5\sin\phi}{5}\,d\phi=\frac{R^5}{5}\left[-\cos\phi\right]_{0}^{\pi}=\frac{2R^5}{5}.$$
+
+И, наконец, вычислим внешний интеграл:
+
+$$\int_{0}^{2\pi}\frac{2R^5}{5}\,d\theta=\frac{2R^5}{5}\cdot2\pi=\frac{4\pi R^5}{5}.$$
+
+Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{4\pi R^5}{5}$.