diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md index 01932b0..e7a2ccf 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md @@ -40,6 +40,7 @@ $g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y Из принципа двойственности, $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h$, следовательно, $h \in S$ # Лемма о несамодвойственной функции +## Лемма Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций $f$ и $\bar x$. Т.е. если $f \notin S$, то ${0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]$ ## Доказательство Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S$. Тогда существует такой набор $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, что $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\}$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]]) diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md index 7193ed8..664198f 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md @@ -21,11 +21,12 @@ flowchart TD ``` # Монотонные функции -**Монотонная функция** (класс М) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$ +**Монотонная функция** (*класс М*) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$ # Замкнутость класса 𝑀 ## Теорема Класс M замкнут + ## Доказательство Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M$ Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14.md new file mode 100644 index 0000000..35ef8c2 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14.md @@ -0,0 +1,75 @@ + Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. Лемма о нелинейной функции + +# Линейные функции +- **Линейная функция** (*класс L*) - функция, которая может быть представлена формулой $a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_nx_n$, где $a_i$ - коэф., равные 1 или 0 +- *Общий вид линейной функции* – это частный случай [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Полином Жегалкина|полинома Жегалкина]]: в нём нет произведений переменных. + +## Примеры +- 0 +- 1 +- x +- $\bar x = x \oplus 1$ + +# Замкнутость класса 𝐿 +## Теорема +Класс 𝐿 замкнут. + +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in L$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in L$ +Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$ + +Пусть +$f = a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_nx_n$, +$g = b_0 \oplus b_1y_1 \oplus b_2y_2 \oplus \dots \oplus b_ny_n$, +тогда $h =$ +$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_ng(y_1, y_2, \dots, y_m) =$ +$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_n(b_0 \oplus b_1y_1 \oplus b_2y_2 \oplus \dots \oplus b_ny_n) =$ +$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_nb_o \oplus a_nb_1y_1 \oplus a_nb_2y_2 \oplus \dots \oplus a_nb_ny_n \in L$ + +# Сокращённая ДНФ линейной функции +## Теорема +[[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Сокращённая ДНФ|Сокращённая ДНФ]] любой линейной функции совпадает с [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#^809b89|СДНФ]], построенной на её существенных переменных. + +## Доказательство +Пусть $f \in L$, значит можно записать формулой $f(x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}) = x_{i_1} \oplus x_{i_2} \oplus \dots \oplus x_{i_k} \oplus \alpha_0$, где $\alpha_o \in \{0, 1\}$, а $x_{i_1}..x_{i_k}$ - все существенные переменные f + +Рассмотрим [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Импликанта|импликанту]] $A = x^{\alpha_1}_{i_2} x^{\alpha_2}_{i_2} \dots x^{a_k}_{i_k}$ функции f (очевидно, входящую в СДНФ) + +Пусть $A'$ - элементарная конъюнкция отличная от A ровно в одной позиции. НУО, можно предположить, $A' = x^{\overline{\alpha_1}}_{i_1} x^{\alpha_2}_{i_2} \dots x^{a_k}_{i_k}$ + +Т.к. A - импликанта f, то $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k) = \alpha_1 \oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = 1$ +Но тогда $f(\overline{\alpha_1}, \alpha_2, \dots, \alpha_k) = \overline{\alpha_1} \oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = \alpha_1$ ==$\oplus 1$== $\oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = 1 \oplus 1 = 0$ + +Т.е. $A'$ не является импликантой f. Таким образом, любые 2 импликанты, входящие в СДНФ функции f, отличаются не менее, чем в 2х позициях и, следовательно, являются простыми +Т.е. сокращённая ДНФ совпадает с СДНФ + +# Лемма о нелинейной функции +## Лемма +Если функция 𝑓 нелинейна, то функция 𝑥𝑦 является суперпозицией функций $f, 0, 1$ и $\bar x$. То есть если $f \notin L$, то $xy \in [\{f, 0, 1, \bar x\}]$. +## Доказательство +Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin L$, тогда в [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Полином Жегалкина|полином Жегалкина]] этой функции входит конъюнкция каких-нибудь переменных. НУО, предположим, что это конъюнкция $x_1$ и $x_2$ + +Вынесем $x_1x_2$ за скобку, тогда в скобках останется полином остальных переменных. Обозначим $p_{1,2}(x_3, \dots, x_n)$ +В оставшийся части выражения вынесем отдельные $x_1$ и $x_2$ за скобку. Полиномы в скобках обозначим $p_1(x_3, \dots, x_n)$ и $p_2(x_3, \dots, x_n)$ соответственно +Все слагаемые без $x_1$ и $x_2$ тоже образуют полином - $p_0(x_3, \dots, x_n)$ + +Итак, $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = x_1x_2p_{1,2}(x_3, \dots, x_n) \oplus x_1p_1(x_3, \dots, x_n) \oplus x_2p_2(x_3, \dots, x_n) \oplus p_0(x_3, \dots, x_n)$ +$p_{1,2}(x_3, \dots, x_n) \neq 0$, иначе f эквивалентна полиному без $x_1x_2$, что противоречит [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Единственность полинома Жегалкина|единственности полинома для функции]] + +Таким образом, существуют такие $\alpha_3, \dots, \alpha_n$, что $p_{1,2}(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = 1$ +Пусть $p_1(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_1$, $p_2(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_2$, $p_0(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_0$ +Подставим $\alpha_3, \dots, \alpha_n$ в f вместо $x_3, \dots, x_n$: +$$ + f(x_1, x_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n) = x_1x_2 \oplus x_1\alpha_1 \oplus x_2\alpha_2 \oplus \alpha_0 +$$ + +Теперь подставим вместо $x_1$ функцию $x \oplus \alpha_2$, вместо $x_2$ - $y \oplus \alpha_1$: +$f(x \oplus \alpha_2, y \oplus \alpha_1, \alpha_3, \dots, \alpha_n) =$ +$= (x \oplus \alpha_2)(y \oplus \alpha_1) \oplus (x \oplus \alpha_2)\alpha_1 \oplus (y \oplus \alpha_1)\alpha_2 \oplus \alpha_0 =$ +$= xy \oplus \alpha_2y \oplus \alpha_1x \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_1x \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_2y \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0 =$ +$= xy \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0$ + +Введём функцию $h(x, y) = f(x \oplus \alpha_2, y \oplus \alpha_1, \alpha_3, \dots, \alpha_n) \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0$ +$h(x, y) = xy$ + +Прибавление констант эквивалентно отрицанию или тождественной функции, следовательно, $xy = h(x, y) \in [\{f, 0, 1, \bar x\}]$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15.md new file mode 100644 index 0000000..dcd1e9e --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15.md @@ -0,0 +1,39 @@ + Критерий Поста. Шефферовы функции +# Критерий Поста +## Теорема +Множество функций является полной системой тогда и только тогда, когда оно не включено ни в один из классов $T_0, T_1, S, M, L$. + +## Доказательство +Пусть A - множество функций. Допустим, что $A \subseteq X$, где X - один из 5 классов. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^02f9e1|свойству замыкания]] $[A] \subseteq [X]$ + +Т.к. X - замкнутый класс, то $[X] = X$ и, следовательно, $[A] \subseteq X \ne P_2$ +Следовательно, и A не полная система + +Докажем обратное: пусть A не является подмножеством ни одного из 5 классов. Тогда в нём имеются такие функции $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5$, что $f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L$. Некоторые (или все) могут совпадать + +Рассмотрим $f_1 \notin T_0 \Rightarrow f(0, \dots 0) = 1$. Рассмотрим 2 случая: +1. $f_1(1, \dots, 1) = 0$, тогда $f_1(x, \dots, x) = \bar x$ + + По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11#Лемма|лемме о несамодвойственной функции]], $\{0, 1\} \subseteq [\{f_3, \bar x\}]$ + По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$ + + Таким образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из множества $\{f_1, f_3, f_5\}$ + +2. $f_1(1, \dots, 1) = 1$, тогда $f_1(x, \dots, x) = 1$ + Т.к. $f_2 \notin T_1$, то $f_2(1, \dots, 1) = 0$. Значит, подставляя 1 вместо всех переменных в $f_2$, получим 0. Итак, $\{0, 1\} \subseteq [\{f_1, f_2\}]$ + + По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12#Лемма|лемме о немонотонной функции]], $\bar x \in [\{f_4, 0, 1\}]$ + По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$ + + Таким образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из $\{f_1, f_2, f_4, f_5\}$ +В обоих случаях $\set{\bar x, xy} \subseteq [\set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5}] \subseteq [A]$ +Множество $\set{\bar x, xy}$ - полная система. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#Теорема|теореме сведения]] множество A - тоже полная система + +# Шефферовы функции +- **Шефферова функция** - $[\{f\}] = P_2$, т.е. функция, множество из одной такой функции являющееся полной системой ^27f049 + +## Примеры +- $\overline{x_1x_2 \dots x_n}$ при $b \ge 2$ +Единственные Шеферовы функции от 2х переменных: +- $x | y$ +- $x \downarrow y$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16.md new file mode 100644 index 0000000..dea9dd0 --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16.md @@ -0,0 +1,24 @@ + Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах + +# Предполные классы +1. класс, являющийся полным полным только при добавлении любой новой функции +2. максимальное по отношению включения неполное множество + +# Теорема о 5 предполных классах +## Теорема +Существует ровно 5 предполных классов: $T_0, T_1, S, M, L$ + +## Доказательство +НУО, возьмём класс L: $[L] = L \ne P_2$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^ff2b6e|P2]]) +Возьмём функцию $f \notin L$ и рассмотрим множество $L \cup \{f\}$. Если оно не полное, то по [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме Поста]] оно должно быть подмножеством одного из классов $T_0, T_1, S, M$. Но тогда и L будет подмножеством этого класса, а это не так: +- $L \nsubseteq S$, т.к. $1 \in L - S$ +- $L \nsubseteq M$, $L \nsubseteq T_0$, $L \nsubseteq T_1$, т.к. $\bar x \in L - (M \cup T_0 \cup T_1)$ +Значит, $L \cup \{f\}$ - полное для любой функции f, а значит, L - предпольный класс + +Докажем теперь, что других предпольных классов нет: +Пусть X - предпольный класс, отличный от $T_0, T_1, S, M, L$ + +По [[#Предполные классы|определению]], множество X не полное, значит, по [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме]], оно включено в один из 5 классов + +НУО, $X \subseteq S$. Т.к. $X \ne S$, то $\exists f \in S, f \notin X$ +Но тогда $X \cup \{f\} \subseteq S$ и по теореме, X не полное, что противоречит определению \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17.md new file mode 100644 index 0000000..d98f30b --- /dev/null +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17.md @@ -0,0 +1,37 @@ + Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов. +# Базис +- **Базис** + 1. минимальная по включению полная система функций + 2. полная система, которая перестаёт быть таковой после удаления любой функции +## Примеры +- [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#^27f049|Шефферовы функции]] +- $\set{xy, \bar x}$ +- $\set{x \vee y, \bar x}$ +- $\set{xy, x \oplus y, 1}$ + +# Теорема о размере базиса +## Теорема +Каждый базис содержит не более четырех +функций. + +## Доказательство +Покажем, что в каждой полной системе содержится полная подсистема не более чем из четырех функций. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме Поста]] в любой полной системе имеются функции $f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L$ + +Множество $\set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5}$ - полная система +Рассмотрим $f_1$. Т.к. $f_1 \notin T_0$, то $f_1(0, \dots, 0) = 1$ + +Если $f_1(1, \dots, 1) = 1$, то $f_1 \notin S$, тогда множество $\set{f_1, f_2, f_4, f_5}$ - полная система +Иначе $f_1 \notin T_1; f_1 \notin M$, тогда $\set{f_1, f_3, f_5}$ - полная система + +# Базис замкнутого класса +- **Базис замкнутого класса** - минимальная по включению система функций Y такая, что $[Y] = X$ +## Примеры +- $S = [\set{x \bar y \vee x \bar z \vee \bar y \bar z}] = [\set{\bar x, m(x, y, z)}]$ +- $M = [\set{0, 1, xy, x \vee y}]$ +- $L = [\set{x \oplus y, 1}]$ +- $LS = [\set{\overline{x \oplus y \oplus z}}] = [\set{\bar x, l_3(x, y, z)}]$ +- $T_0T_1M = [\set{xy, x \vee y}]$ + +# Задача +$\begin{equation*} if(x, y, z) = \begin{cases} y, x = 1\\ z, x = 0 \end{cases} \end{equation*}$ +Доказать, что $T_0T_1 = [\{if\}]$ \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md index 5b4e2d5..7a9aa16 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md @@ -5,10 +5,10 @@ # Свойство склейки ###### Теорема: -Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции. +Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём $Ax$ и $𝐴 \bar 𝑥$ – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции. ###### Доказательство Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$ Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$ $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$ # Сокращённая ДНФ -\- дизъюнкция всех простых испликант функции \ No newline at end of file +\- дизъюнкция всех простых [[#Импликанта|импликант]] функции \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md index dad4bb9..6b7264d 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md @@ -1,12 +1,12 @@ Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина. -# **Алгебра Жегалкина** +# Алгебра Жегалкина \- алгебраическая система для описания логических функций 1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2 2. Нет отрицания - 3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера + 3. <$\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}$> - поле наименьшего размера -# Свойства $\oplus$: +# Свойства $\oplus$ - $x\oplus 0 = x$ - $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$ - **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$ @@ -21,10 +21,10 @@ 4. 0 - полином, но не слагаемое # Единственность полинома Жегалкина -###### Теорема. +## Теорема Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином. -###### Доказательство: +## Доказательство f - логическая функция P(f) - её полином diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md index 7fc853b..9e6d00a 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md @@ -15,4 +15,4 @@ Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина - не принадлежит P, иначе цикл -- имеет номер, иначе есть путь больше P ^0f0cfe \ No newline at end of file +- имеет номер, иначе есть путь больше P \ No newline at end of file diff --git a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md index 1d78314..1594840 100644 --- a/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md +++ b/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md @@ -21,11 +21,11 @@ # Свойства замыкания - $A \subseteq [A]$ - $[[A]] = [A]$ -- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$ +- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$ ^02f9e1 # Полная система функций $P_2$ - класс всех логических функций -**Полная система** функций - +**Полная система** функций - ^ff2b6e 1. множество функций, где любая функция является суперпозицией функций из этого множества 2. множество A, что $[A] = P_2$