Полноценно готов Первый блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

@@ -0,0 +1,50 @@
+> Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:
+
+> Формула интегрирования по частям
+
+Пусть даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемые на некотором интервале $[a, b]$. Тогда выполняется следующая формула интегрирования по частям:
+
+$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx + C$,
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+Эта формула может быть доказана с помощью правила произведения для дифференцирования:
+
+$(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$.
+
+> Принципы интегрирования по частям
+
+При вычислении неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям необходимо выбрать одну из функций $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемых на некотором интервале $[a, b]$, таким образом, чтобы интеграл $\int v(x) u'(x) \, dx$ был проще исходного интеграла $\int u(x) v'(x) \, dx$.
+
+В качестве критерия выбора функций $u(x)$ и $v(x)$ можно использовать следующее правило:
+
+- Если под знаком интеграла есть произведение функций, то следует выбрать в качестве $u(x)$ ту функцию, которая дифференцируется проще, а в качестве $v(x)$ - ту функцию, которая интегрируется проще.
+- Если под знаком интеграла есть функция, которая может быть представлена в виде произведения двух функций, то следует попытаться выделить одну из этих функций в качестве $u(x)$ или $v(x)$ и применить формулу интегрирования по частям.
+
+> Примеры интегрирования по частям
+
+Рассмотрим несколько примеров интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
+
+Пример 1. Вычислить интеграл $\int x \cos x \, dx$.
+
+Решение. Заметим, что $\cos x$ дифференцируется проще, чем $x$, поэтому выберем $u(x) = x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = 1$, $v(x) = \sin x$ и
+
+$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$.
+
+Пример 2. Вычислить интеграл $\int e^x \sin x \, dx$.
+
+Решение. Заметим, что $\sin x$ дифференцируется проще, чем $e^x$, поэтому выберем $u(x) = e^x$, $v'(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = -\cos x$ и
+
+$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$.
+
+Для вычисления интеграла $\int e^x \cos x \, dx$ снова применим интегрирование по частям, выбрав $u(x) = e^x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = \sin x$ и
+
+$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$.
+
+Получим систему уравнений:
+
+$\begin{cases} \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx, \\ \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx. \end{cases}$
+
+Решив эту систему, получим:
+
+$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$.