vault backup: 2024-10-14 19:30:40

2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md

@@ -8,10 +8,10 @@
 - Если $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \infty$ или $\nexists$, то *расходится*
 
 #### Ряд геометрической прогрессии
-$\sum^\infty_{n=1} (b_1 \cdot q^{n-1})$
+$\sum\limits^\infty_{n=1} (b_1 \cdot q^{n-1})$
 $S_n = \frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q^n}$, $q \neq 1$
 1. $|q| < 1$:
-   $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits{n\to\infty}\frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1q^{n+1}}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$ - *сумма ряда*
+   $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1 \cdot q^{n+1}}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$ - *сумма ряда*
 2. $|q| > 1$:
    $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty \Rightarrow$ ряд *расходится*
 3. $q = 1$: $\sum\limits^\infty_{n=1}b_1 = b_1 \cdot n \to \infty$
@@ -19,10 +19,10 @@ $S_n = \frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q^n}$, $q \neq 1$
  $\sum\limits^n_{k=1} \frac 1 {n(n+1)} = \sum\limits^n_{k=1}(\frac 1 k - \frac 1 {k+1}) = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \dots = 1 - \frac 1 {n+1}$; $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = 1$
  $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac 1 n$ - *гармонический ряд*
 ## Действия с рядами
-1. Если $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся, то $\exists\alpha\in\mathbb R$ т.ч. $\sum(a_n \pm b_n)$ сходится и $\sum\alpha a_n = \alpha\sum a_n$, $\sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n$
+1. Если $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся, то $\exists\alpha\in\mathbb R$ т.ч. $\sum(a_n \pm b_n)$ сходится и $\sum(\alpha \cdot a_n) = \alpha \cdot \sum a_n$, $\sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n$
    *Доказательство*:
-- $\sum\limits^\infty_{n=1}\alpha a_n = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\alpha a_k = \alpha \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits^n_{k=1}a_k = \alpha\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$
-- $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(a_k \pm b_k) = \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}a_k \pm \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}b_k = \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) \dots = \sum\limits^\infty_{n=1}a_n \pm \sum\limits^\infty_{n=1}b_n$ %% на паре не успел дописать%%
+- $\sum\limits^\infty_{n=1}(\alpha \cdot a_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(\alpha \cdot a_k) = \alpha \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits^n_{k=1}a_k = \alpha \cdot \sum\limits^\infty_{n=1}a_n$
+- $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(a_k \pm b_k) = \lim\limits_{b\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}a_k \pm \lim\limits_{b\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}b_k = \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) \dots = \sum\limits^\infty_{n=1}a_n \pm \sum\limits^\infty_{n=1}b_n$ %% на паре не успел дописать%%
    > [!замечание]
    > 1. Из сходимости $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n)$ следует сходимость $\sum a_n$ и $\sum b_n$
    > 2. сх. $\pm$ расх. $=$ расх.
@@ -54,7 +54,7 @@ $\sum a_n, \sum b_n$, где $\forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant 0, b_n \geq
 ##### Теорема 1.3: Признак Даламбера
 Если $\exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = p$,, то при $p<1$ ряд сходится, а при $p > 1$ - расходится
 ## Признаки Дериале и Коми для знакопеременных рядов
-Пусть для ряда $\sum a_n, a_n \in \mathbb R, \exists$ конечный или бесконечный $\lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q$ или $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = q$; $0 \leqslant \leqslant +\infty$, тогда 
+Пусть для ряда $\sum a_n, a_n \in \mathbb R, \exists$ конечный или бесконечный $\lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q$ или $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = q$; $0 \leqslant q \leqslant +\infty$, тогда 
 1. $q < 1$: $\sum a_n$ сходится абсолютно
 2. $q > 1$: $\sum a_n$ расходится
 3. $q = 1$: ?